异质性不是“ID 进入网络”，而是 \(u\mapsto[z\mapsto K_u^z]\) 是否随 \(u\) 变化。
USL-01 technical article · theory map
异质的是谁？
unit 形式化如何重画机器学习的异质性地图：不是再发明一种 heterogeneity model，而是先声明谁在变化、哪条 response law 在变化，以及历史理论究竟是实例、重索引、邻接轴还是不可归约边界。
Heterogeneity 说什么在变；结构假设才说明这些不同规律怎样可学习、可迁移、可证伪。
Random effects 在当前 scoped map 中最接近；multitask 可重索引；domain shift 是邻接轴；causal reading 仍需 identification。
Review boundary. 这是把 v0.15 正文中的一条高价值逻辑及其附录细节展开成便于 owner 逐段反馈的公开阅读面。Minimal definition、oracle consequence、一般证明与 source-specific historical map 仍待独立数学及 primary-literature review；它不是 theorem verification、novelty proof、formal release，也不表示 manuscript/PDF、OpenReview 或 arXiv 已同步。
我们不缺异质性模型，缺的是“异质的是什么”
机器学习早已拥有 random effects、hierarchical models、multitask learning、mixture models、domain adaptation、personalization 与 treatment-effect heterogeneity。问题是 subject、task、component、domain、environment、user 与 causal unit 并不天然索引同一种对象。
$$\mathcal D=\{(x_i,y_i)\}_{i=1}^{N},\qquad P(dy\mid x)$$
普通监督学习里的 \(i\) 只标记一条 sample 或 event；它没有说明多条事件是否来自同一个 persistent Individual。因而准确说法不是“普通监督学习已经假设所有 Individuals 同质”，而是：它的基础记号通常没有声明 Individual 这一轴。
$$U:\Omega\to\mathcal U,\qquad U\sim\Pi,\qquad u\in\mathcal U$$
unit formalization 先声明 task-relative unit space，再让 \(U\) 表示 population 中涉及哪一个 unit。在事件 \(U=u\) 上，realized \(u\) 是 identity-bearing formal individual：它在当前 task/query family 内跨相关 events 保持 referential identity，但不自动等于 cluster、latent type、task 或 environment。
两个 Individuals 可以拥有相同 response profile，却仍是不同的 \(u\)。预测 equivalence 不抹去 identity。
同一患者的多次就诊、同一设备的多个窗口、同一用户的多轮 interaction 共享 referent，却保留 event/context noise。
unit 选择的不是一个输出，而是一整条 response law
令 \(z=(x^Q,c^Q)\) 表示 task-declared response query；\(x^Q\) 是当前 query，\(c^Q\) 是固定 unit 后仍直接改变 response 的已知 context。对共同 query family \(\mathfrak Q\)，写：
unit-conditioned response family
$$K_u^z(dy):=P_u^\star(dy^Q\mid x^Q,c^Q),\qquad u\longmapsto\bigl[z\longmapsto K_u^z\bigr]$$
固定 \(u\) 后，\(z\mapsto K_u^z\) 是任务承诺回答的 response law；跨 units 比较的是整族 \(u\mapsto[z\mapsto K_u^z]\)，不是某一种 embedding architecture。这里不再为整条 profile 引入单独符号。
Unit 可以改变 baseline、input effect、整条 response function、noise、support、threshold、ranking preference 或 query sensitivity。Embedding lookup、attention、random intercept 和 low-rank factorization 都只是实现或限制这张映射的方式。
$$Y=\alpha(u)+\beta x+\varepsilon,\qquad Y=\alpha+\beta(u)x+\varepsilon,\qquad Y=f_u(x)+\varepsilon_u$$
三种写法都允许 unit-conditioned variation，却对“什么共享、什么改变、需要多少 observations、怎样向 unseen unit 泛化”给出不同答案。形式化的价值，就是迫使这些差异从 implementation detail 变成 task contract。
异质性的核心定义，以及 design 看不见的部分
unit-response homogeneity / heterogeneity
若存在一族 \(K^z\)，使得对 \(\Pi\)-almost every \(u\) 和每个 declared \(z\in\mathfrak Q\) 都有 \(K_u^z=K^z\)，则任务在 \(\mathfrak Q\) 上 unit-response homogeneous；否则 unit-response heterogeneous。
$$u\equiv_{\mathfrak Q}v\quad\Longleftrightarrow\quad K_u^z=K_v^z\quad\text{for every declared }z\in\mathfrak Q$$
这个定义是 query-relative 的：两个 Units 在当前 queries 上可以等价，在更大的 query family 上却不同。仅仅改变 \(P(X\mid U=u)\) 或某个 Unit 被采样的频率，也不等于改变了 \(K_u^z\)。
Structural 与 deployment-visible 必须分开。 给定 deployment design \(\Lambda(du,dz)\)，若存在 \(K^z\) 使 \(K_u^z=K^z\) 对 \(\Lambda\)-almost every \((u,z)\) 成立，称其 \(\Lambda\)-visible homogeneous；否则 visible heterogeneous。对 compatible design（\(\Lambda_U\ll\Pi\)），structural homogeneity 蕴含 visible homogeneity；反过来可以失败，因为 design 可能没有覆盖真正发生差异的 Unit 或 query。Off-support response 仍是 modeling choice，不能包装成已经识别的事实。
五种不能混写的 response-law 情形
| 情形 | 限制 | 科学含义 |
|---|---|---|
| sample-only | no unit axis | 学习 row-level \(P(dy\mid x)\)，不直接陈述 persistent individuals 是否异质。 |
| homogeneous unit extension | \(K_u^z=K^z\) | 声明 unit 后，unit identity 在当前 queries 上不增加 response information。 |
| pure-unit / input-invariant | \(K_u^z=K_u\) | Outcome 随 unit 变化，但 supplied query 不起作用；这不是 unrestricted heterogeneity。 |
| structured unit-responsive | \(K_u^z=K^z(\eta,\zeta_u)\) | Shared structure 与 unit-varying structure 并存，是许多 shared/unit-varying models 的候选形式。 |
| saturated unit-responsive | \(u\mapsto[z\mapsto K_u^z]\) unrestricted | 允许每个 unit 拥有任意 response family；没有额外结构时，不支持 unseen-unit transfer。 |
最后两行描述的是允许异质性的 model class，并不保证某个 realized member 一定异质。“结果只由个体决定、与 input 无关”是 pure-Unit/input-invariant，不是 fully heterogeneous。
别把 heterogeneity 与 marginal collapse 混为一谈。 即使固定 Unit 后的 laws 不同，积分掉 \(U\) 仍可能得到同一个 row-level \(P(Y\mid X)\)。边际拟合既不能识别 meaningful Unit decomposition，也不能否定它；same-unit evidence、结构限制与 evaluation target 才提供可检验内容。
保留 unit 的 oracle value
在 deployment design \(\Lambda(du,dz)\) 下，忽略 Unit、只观察 \(z\) 时的 pooled Bayes law 是：
$$\overline K^z(dy):=\int K_u^z(dy)\,\Lambda(du\mid z)$$
令 admissible report class \(\mathcal P\) 包含 \(\Lambda\)-almost every \(K_u^z\)，并对 displayed mixtures 闭合，使 \(\overline K^z\in\mathcal P\)。令 \(S(P,y)\) 为 smaller-is-better strictly proper predictive loss，定义 \(D_S(P,Q):=\mathbb E_{Y\sim P}[S(Q,Y)-S(P,Y)]\)，并假设下列 expectations finite。
Proper-score oracle gap · draft proposition
Unit-aware oracle 不会比 pooled oracle 更差
$$R_{\rm pool}-R_{\rm Unit}=\mathbb E_{(U,Z)\sim\Lambda}\!\left[D_S\!\left(K_U^Z,\overline K^Z\right)\right]\ge 0$$
在 strict propriety 下，等号成立当且仅当 \(K_U^Z=\overline K^Z\) 对 \(\Lambda\)-almost every \((U,Z)\) 成立；log loss 下，gap 为 \(I_\Lambda(U;Y\mid Z)\)。
边界：这是 classical proper-scoring-rule identity 在 unit-conditioned object 上的 specialization。它是 oracle diagnostic，不证明 \(U\) 已观察、可识别、具有 causal utility、能从有限 selectively observed events 学到，也不证明某个 unit-aware algorithm 胜过 matched baseline。
Response heterogeneity、unit uncertainty 与观察机制是三件事
$$(U,Z)\sim\Lambda,\quad Y\mid(U=u,Z=z)\sim K_u^z,\quad (R,L,\mathcal O^{\rm obs})\sim M(dr,d\ell,do\mid u,z,y)$$
固定 Unit 后，response 怎样随 query、context 与 exogenous variation 改变。
→
Event 是否被选中、linkage information \(L\) 怎样暴露。Measurement noise 可按被污染对象进入 \(K\) 或 \(M\)，任务必须声明。
→
Answer 前 admissible factual evidence 支持的 which-Unit uncertainty。
Known linkage 是 exposed \(L\) 决定 \(U\) 的边界；否则 \(L\) 与其余 \(\mathcal O^F\) 只能支持一个 conditional law 或 learner belief。
$$\widehat P(dy^Q\mid\mathcal O^F;x^Q)=\int K_u^{z^Q}(dy^Q)\,Q_\phi(du\mid\mathcal O^F)$$
当前 target \(Y^Q\) 不能因为 selection 依赖 outcome 就进入预测自己的 \(\mathcal O^F\)。Heterogeneity 可以真实存在却被 observation mechanism 隐藏；selective observation 也可以改变 observed population，却没有创造 response-law heterogeneity。
历史理论不是一个 reduction，而是四种关系
补充声明 unit、linkage 与 query 后，既有模型实现一个受限的 \(K_u^z\) family。
Task/group 等索引只有在指向 task-declared persistent referent 时才可重读为 unit；problem-declaring task 本身不是 unit。
文献主要研究 environment \(e\) 等另一轴；它可与 unit 轴交叉，不能直接认作同一轴。
代数形式相似，却缺少 identity、persistence、attribution、available evidence 或 answer-query contract。
| 传统 / 索引 | 关系 | 在 unit coordinates 中怎样读 |
|---|---|---|
| Longitudinal random effects subject | Restricted instance | Scoped closest ancestor：known subject linkage、shared response family、subject-specific parameters；通常限制 parameter variation。 |
| Multitask learning task | Re-indexing | Task index 只有在指向某类跨 events 持续存在、由当前 learning task 声明为 unit 的 referent 时才成立；problem-declaring task 本身不是 unit。 |
| Latent variables / MoE component/expert | Non-reduction | Latent value 只有获得 identity、persistence 与 attribution contract 才成为 unit；per-query gate 也不等于 reusable which-unit belief。 |
| Grouped/meta/Neural Process group/episode/task | Restricted instance | Group boundary 指向 persistent referent 时成立；group、episode 或 task 标签不自动成为 unit。 |
| Covariate shift train/test environment | Adjacent axis · homogeneity boundary | \(P(X)\) 改变而 \(P(Y\mid X)\) 保持不变，是 environment 轴上的 homogeneity boundary。 |
| Domain adaptation source/target | Adjacent axis | 研究 environment-indexed generalization；domain bound 不自动成为 persistent-Individual theory。 |
| Invariant prediction environment | Adjacent axis | 它问什么跨 \(e\) 不变；unit heterogeneity 问什么跨 persistent \(u\) 变化。 |
| Recommendation user | Restricted instance | Trusted user ID 固定 persistent referent 与 update address，而 response objective 学习 embedding / factor / state；这是 familiar direct-access known-ID restricted instance，不属于 Unit Abduction；只有 ambiguous identity 才需要 reusable which-unit belief。 |
| Potential outcomes causal unit | Non-reduction | 共享 same-unit referential anchor；但 observational \(K_u^z\) 既不是 interventional law，也不识别 individual treatment effect。 |
相似代数形式不足以建立 reduction。比较时至少要检查 referential index、event linkage、response variation、shared restriction、observation/selection 与 answer-time query。把文献放进同一张表是 framework comparison，不是历史优先权证明。
unit 与 environment 是两条可以交叉的轴
谁的规律在变化？
Patient、device、account 等 persistent Individual；mixed effects 与 personalization 主要组织此轴。
\(K_{u,e}^z(dy)\)response at query z
在哪个制度或分布下？
Hospital、domain、policy、selection regime；covariate shift、adaptation 与 invariance 主要组织此轴。
模型可以跨 units 异质但跨 environments invariant；也可以跨 units homogeneous 却发生 environment shift；还可以两轴都变化。例如 patient 是 unit、hospital 是 environment；user 是 unit、exposure policy 是 environment。把 \(u\) 与 \(e\) 压成同一个模糊 group 会让这些科学问题在记号中消失。
MINIMUM TYPED COORDINATE RECORD
$$(\text{referential index},\ \text{event linkage},\ \text{response variation},\ \text{shared restriction},\ \text{observation/selection},\ \text{target query})$$
这套坐标会生成哪些新 theory questions？
下面是研究议程，而不是本文已经建立的 theorem：
New-unit generalization
Sample complexity 怎样同时依赖 unit 数、每 unit events 与所声明 shared model class 的 complexity？
unit × environment transport
在 \(K_{u,e}^z\) 下，何时能同时迁移到 new unit 与 new environment？
Uncertain linkage
当 \(L\) 不直接揭示 \(U\) 时，unit-belief error 与 response-model error 能否分解？
Selective observation
Overlap、repeated evidence 与 \(M\) 对 identification / partial identification 各提出什么条件？
Falsification
匹配 information、capacity 与 split 后，unit-preserving 与 unit-erased protocols 何时必须分歧？
Structure discovery
Random effects、low-rank、shared representation 与 finite response types 能否被 deployment-relative tests 区分？
当前最强、也最克制的结论
unit primitive 先回答：究竟是谁的什么规律在变。
unit 形式化的贡献不是重新发明异质性，而是定义一个 persistent individual 所选择的整条 response law。 一旦 referential unit 与 query family 被声明，unit-conditioned response heterogeneity 就是这族 response laws 是否随 \(u\) 变化。
可辩护的统一不是 “all heterogeneity is the same”，而是：既有理论现在可以被精确描述为 restricted instances、re-indexings、adjacent axes 或 non-reduction boundaries；尚未组合的 coordinates 则显露为未来研究问题。
这套形式化真正带来的好处，是让“哪些相同、哪些不同、哪些可以组合”成为 typed、可检查的问题。Exhaustive novelty、historical priority、finite-sample learning theory 与 empirical value 仍然是开放 evidence gates。
这张历史地图由哪些一手文献锚定？
以下是当前 scoped map 的 anchors，不是 exhaustive novelty audit。
Laird & Ware (1982) · Random-Effects Models for Longitudinal DataSame-subject observations、shared family 与 individual-specific parameters。
Caruana (1997) · Multitask LearningRelated tasks 通过 shared representation 联合学习。
Jacobs et al. (1991) · Adaptive Mixtures of Local ExpertsExpert laws 与 input-dependent gate；代数相邻但 Unit contract 不自动成立。
Garnelo et al. (2018) · Conditional Neural ProcessesContext set、task/group representation 与 predictive law。
Shimodaira (2000) · Covariate ShiftInput marginal 变化、conditional response relation 保持。
Ben-David et al. (2010) · A Theory of Learning from Different DomainsSource/target divergence 与 domain-indexed transfer bound。
Peters, Bühlmann & Meinshausen (2016) · Invariant Prediction利用 environments 变化寻找稳定 relation。
Mnih & Salakhutdinov (2007) · Probabilistic Matrix FactorizationKnown user/item referent 下的 response-layer structured instance。
Rubin (1974) · Estimating Causal Effects of TreatmentsSame causal unit bears alternative potential responses。
Gneiting & Raftery (2007) · Strictly Proper Scoring RulesOracle gap 所使用的 classical proper-score identity。
请直接审这六个位置
- “异质的是一个 unit 所选择的整条 response law”是否命中核心对象？
- “普通监督学习不声明 Individual 轴”是否比“它假设个体同质”更准确？
- 五类 regimes 是否真正解决了 pure-Unit 与 fully heterogeneous 的混淆？
- Random effects、multitask、environment theories 与 causal unit 的四种关系定位，哪里仍过强或过弱？
- Proper-score gap 是清晰的 oracle diagnostic，还是容易被误读为算法优势？
- 哪一个 future-theory question 最值得作为正文既有逻辑的下一步理论深化？