P31 · protocol-audited preprint package
Learnable Location–Scale Cauchy–KL Kernels: Theory and a Controlled Regression Study
论文把每一行输入映射为带有可学习 location 与 positive scale 的 Cauchy 参数，再用精确 KL 构造核；数学有效性、训练目标、query-local inference 与经验收益必须严格分开。
v3 继续是 corrected_v3_objective_audit_hold / corrected_v3_complete_artifact_objective_unvalidated。非覆盖 v4 artifact 使用 exact-full-N-leave-one-out-krr-mse-v1，strict analyzer 通过 315/315 cells、failed=0，状态是 corrected_v4_complete_and_claim_audited；SHA-256 为 3a11192da8f51a66807a1020b25bae7367ae388db415257a56efb416fd9ffce0。独立记录在 github-repo/results/corrected-v4-20260726/CLAIM_AUDIT.md。Canonical P31 仍是 row-level kernel-only；Candidate U 只是 candidate_u_prospective，其 full 20-seed gate 保持 unrun。
两张结构图
Figure 1 对齐比较四条真实计算路径：Direct MLP 为 perception → linear μ head → scalar output；Deep RBF 为 perception → linear μ head → RBF kernel；Fixed-scale Deep Cauchy 保留 μ path 并学习一个全局共享尺度；Deep Cauchy 从同一隐藏状态并行产生 linear μ 与 positive γ heads，再进入 product Cauchy–KL kernel。Figure 2 把冻结后的 query similarity、top-k reference subset、local Gram system、ridge solve 与 prediction 画完整。
corrected-v3 的 deep-kernel path 用训练行拟合自身并同时学习 ridge lambda，形成 train-loss collapse 捷径。Corrected-v4 已改为 full-N exact leave-one-out KRR objective，metadata 明确 objective_uses_own_target=false 与 B=N；参数冻结后的 query-local top-k inference 仍是另一个阶段。Objective repair 与 local-inference benefit 必须分别审计。
现在到底完成到哪里
k=100：lower local means、exploratory intervals、seed wins；仅为 scope-limited support。v4 的 integrity 与 objective repair 对本 artifact 通过；clean k=100 local-versus-global 只有 scope_limited_exploratory_support。Local mechanism 是 not_established，Cauchy-specific 与 input-dependent-scale advantage 是 not_supported，general baseline comparison 不形成统一 claim，deep-versus-fixed 保持 grid_sensitivity_hold。v3 robustness 数字仍只作 provenance，包括 raw key mixed_units 对应的 100× measurement-scale error screen。
数学附录解决了什么
附录不只给公式，还把 kernel validity、严格条件、训练微分与协议审计逐层写清：
澄清 architecture、证据版本、training / inference，并统一 regression / classification 记号。
推导 KRR 回归、二分类、多分类、kernel logistic、SVM，以及 one-hot 批量端到端训练。
从 Poisson identity 推导 Cauchy KL、product additivity、PSD 与 finite-sample strict PD 条件。
给出 fixed-scale reduction、pullback metric、kernel derivatives 与 ridge-solution differential。
说明正 ridge 下系统的唯一解，以及 full-batch training 和 local inference 的不同成本。
记录 leakage / stale-state 缺陷与 architecture contract；v4 integrity/objective audit 与 scoped claim boundary 以本页当前治理状态为准。
这篇论文当前能说什么
- 数学上已建立：product Cauchy-KL 的精确散度、PSD 保证、strict PD 的充分条件、局部几何与 KRR 微分。
- 经验上有界成立：在 corrected-v4 clean regression、
k=100、三个数据集/三个样本量/五个 paired seeds 范围内，local KRR 的 mean RMSE 在 27/27 cells 更低，26/27 exploratory intervals 排除零，131/135 seed comparisons 胜出。 - 经验上仍未建立：local mechanism、Cauchy-specific、input-dependent-scale 与 general deep-kernel-over-baseline advantage；CI 包含零也不建立 equivalence。
- 仍未覆盖：分类数据集、对抗标签 / queries、大规模 reference bank，以及 calibrated uncertainty。
与最近工作的关系
Mercier & Santin (2026) 的 differentiable KRR pipeline 是最接近的当代局部 KRR 构造之一，其框架覆盖 fixed 或 learned representation design。P31 的切口更窄：protocol-controlled tabular regression、local/global matched comparison，以及 RBF、learned-scale Cauchy 和 shared-scale Cauchy 的可审计消融。当前页面不主张“首次提出局部 KRR”。
历史材料如何阅读
旧协议曾产生“学习表征与局部推理可能是有效组件、Cauchy 几何可能没有额外收益”的候选信号，但审计发现全数据标准化后再切分，以及 validation solve 使用旧 KRR 状态两处缺陷。这些旧表不再放在入口页冒充当前结果；它们仍保留在论文归档与实验目录中供追溯。
当前研究路径
- 数学层：arXiv LaTeX 与附录完成，关键定理边界已明确。
- 实现层：corrected-v4 exact full-N LOO matrix 已完成 315/315/0 并通过 strict analyzer。
- 结论层：v3 状态保留；v4 claim audit 已完成，只接受 clean
k=100scope-limited local performance contrast。 - 解释层：新增 kernel classification 子页，把 one-hot 多右端项闭式解与 solve-through gradient 写成可复用读者资产。
- 下一门禁：仅在追求 deep-versus-fixed claim 时做 fixed-grid sensitivity；仅在追求机制/鲁棒性 claim 时做 objective-valid mechanism experiment。Candidate U 保持 prospective，full 20-seed gate 仍未运行。